a. Ta có O là trung điểm của AB, vì vậy CO là đường cao của tam giác OAB và CM = OM - OC = R - R/2 = R/2. Từ tứ giác CRDE suy ra CE = CD = R, CR = RE = R/2. Do đó tam giác CME là tam giác đều. Từ đó, ta có DE = DM - EM = 2CM = R và tam giác DEF cũng là tam giác đều.

b. Gọi G là giao điểm của DM và EN. Ta có tam giác DEF đều nên EF là đường trung trực của CD, mà CD = R nên EF là đường thẳng đi qua trung điểm của nửa đường tròn, tức là là đường vuông góc với AB. Do đó, góc MEF bằng một nửa góc MOB, hay bằng 45 độ.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của F lên MN, ta có H là trung điểm của PQ. Khi S di chuyển trên MN, ta thấy tam giác DPQ luôn nằm trong cùng một đường tròn có đường kính PQ, vì DM và DN là tiếp tuyến của nửa đường tròn, nên góc DPQ không đổi, và do đó chu vi tam giác DPQ cũng không đổi.