Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2x + m - 2m (m là tham số). a) Biết 4 là một điểm thuộc (P) và có hoành độ x = -2. Xác định tọa độ điểm A.

• Điểm A có hoành độ x = -2 và tung độ y = (-2)² = 4. b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
• Điểm cắt của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình:
  • y = x²
  • y = 2x + m - 2m => x² - 2x - m + 2m = 0 => x² - 2x + m = 0 => Δ = b² - 4ac = 4 - 4m >= 0 => m <= 1 c) Xác định tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là xa và x, thỏa mãn điều kiện xi + 2xj = 3m.
• Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
  • x² = 2x + m - 2m => x² - 2x + m = 0
• Theo giả thiết ta có: xi + 2xj = 3m => i + j = (3/2)m => j = (3/2)m - i
• Thay j vào phương trình ta được:
  • x² - 2x + m = xi + 2x(3/2)m - i => x² - (5/2)x + m - i = 0
• Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ > 0:
  • Δ = b² - 4ac >=0 => (5/2)² -4m+i >=0 => i <= (-25+16m)/8
• Vậy tập hợp các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là xa và x, thỏa mãn điều kiện xi + 2xj = 3m là:
  • (-25+16m)/8 <= i <= ∞ với m <=1