Để chứng minh rằng đa thức f(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x, ta cần chứng minh rằng f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = p(x)q(x), trong đó p(x) và q(x) là đa thức bậc một với hệ số nguyên, và f(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x nếu và chỉ nếu p(x) và q(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x.

Để tìm p(x) và q(x), ta có thể sử dụng công thức Vi-ét để giải phương trình ax^2+bx+c=0 và tính các nghiệm của nó. Nếu hai nghiệm của phương trình là nguyên thì đa thức có thể viết dưới dạng f(x) = a(x - m)(x - n), trong đó m và n là hai nghiệm nguyên của phương trình. Nếu chỉ có một nghiệm nguyên thì đa thức có thể viết dưới dạng f(x) = a(x - m)^2 hoặc f(x) = a(x - m)^2 + d, trong đó d là một số nguyên.

Do đó, nếu a+b và c là số nguyên thì theo định lý Vi-ét, phương trình ax^2+bx+c=0 có hai nghiệm nguyên hoặc chỉ có một nghiệm nguyên hoặc không có nghiệm nguyên nào. Từ đó suy ra đa thức f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = p(x)q(x), trong đó p(x) và q(x) là đa thức bậc một với hệ số nguyên, và f(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x. Do đó, ta chứng minh được rằng f(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x.