Để chứng minh các phần a, b, c trong bài toán, ta cần sử dụng các tính chất về đường phân giác, đường trung trực, đường tròn ngoại tiếp và góc nội tiếp của tam giác.

a) Ta có:

• Vì I là trung điểm của MN nên IM=IN.
• Góc AMN bằng góc ABC (do AB//MN và AN cắt BM).
• Góc ADM bằng góc ANM (do AM//DN và góc ở chân bằng nhau).
• Góc BAC bằng góc ADM + góc AMN (do đường AD là đường phân giác trong). Do đó, ta có tứ giác ADMN là tứ giác cân và góc A bằng góc NDM. Từ đó suy ra DN=DM.

b) Ta có:

• Góc ANM bằng góc ABC (do AB//MN và AN cắt BM).
• Góc ADM bằng góc ANM (do AM//DN và góc ở chân bằng nhau).
• Góc ABD bằng góc ACD (do AB=AC và đường AD là đường phân giác trong). Do đó, ta có tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp và góc BND bằng góc BCD. Từ đó suy ra tứ giác BNDI nội tiếp.

c) Ta có:

• Góc ADM bằng góc ANM (do AM//DN và góc ở chân bằng nhau).
• Góc ABD bằng góc ACD (do AB=AC và đường AD là đường phân giác trong). Do đó, ta có tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp và góc DAB bằng góc DCB. Từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua điểm cố định D (khác A) khi M di chuyển trên cạnh AC.