a) Ta có BD = CE,
suy ra BC = DE.
Do tam giác ABC cân tại A nên AD = DC.
Vì BC = DE nên suy ra AE = EB.
Kết hợp với AD = DC ta có AD = AE.
Gọi G là giao điểm của BD và CE. Khi đó, ta có: AG là đường trung trực của DE và BG là đường trung trực của CD.
Vậy, AG và BG là hai đường trung trực của hai đoạn thẳng DE và CD. Do đó, AG và BG cắt nhau tại trung điểm của CD. Tương tự, AG và CG cắt nhau tại trung điểm của DE. Do đó, AG là đường trung trực của cả DE và CD. Ta có AD = DC
suy ra AG là đường trung trực của cả đoạn thẳng AD và đoạn thẳng DC.
Do đó, AG là đường trung trực của cả AC. Như vậy, ta có AD = AE và AG là đường trung trực của AC, suy ra ABE = ACD.
b) Kẻ AM là đường phân giác của góc BAC.
Ta cần chứng minh rằng BM = CM. Vì tam giác ABC cân tại A, suy ra BM = BA và CM = CA. Do BD = CE và AG là đường trung trực của CD nên suy ra AG cũng là đường trung trực của BE.
Do đó, BG là đường trung trực của DE. Tương tự, AM cũng là đường trung trực của DE.
Vậy, AG và AM là hai đường trung trực của hai đoạn thẳng BE và CD, kết hợp với BD = CE, ta có BM = CM.
Vậy, AI là đường phân giác của góc BAC.