Ta có thể biểu diễn chuỗi các số 2016 trong mẫu của phép chia dưới dạng:

1 + 2016 + 2016^2 + ... + 2016^n

Trong đó n là số nguyên dương nào đó. Để tìm được n, ta giải phương trình:

1 + 2016 + 2016^2 + ... + 2016^n > 2016 + 2016^2 + 2016^3 + ... + 2016^n > 2016^n

Từ đó suy ra:

1 + 2016 + 2016^2 + ... + 2016^n > 2016(1 + 2016 + 2016^2 + ... + 2016^{n-1}) > 2016^n

Vì 2016 > 1, ta chia 2 vế của bất đẳng thức trên cho 2015 để được:

1/2015 + 1/2016 + 1/2016^2 + ... + 1/2016^{n-1} > 1 + 1/2016 + 1/2016^2 + ... + 1/2016^{n-1} > 1/2016^{n-1}

Ta thấy rằng chuỗi 1/2016 + 1/2016^2 + ... là một cấp số nhân với công bội là 1/2016, vì vậy nếu ký hiệu S là tổng của chuỗi đó thì ta có:

S = 1/2016 + 1/2016^2 + ... = 1/2016 * (1 + 1/2016 + 1/2016^2 + ...) = 1/2016 * S + 1/2016

Từ đó suy ra S = 1/2015. Do đó:

1/2015 < 1 + 1/2016 + 1/2016^2 + ... + 1/2016^{n-1} < 1/2016^{n-1}

Do đó, ta chọn n = 2 để đảm bảo 2016 + 2016^2 chia hết cho 2016 + 2016 + 2016^2. Khi đó:

2016 + 2016^2 = 2016(1 + 2016) = 2016 * 2017

Vậy ta cần tính số dư của phép chia 2016 + 14012016 cho 2016 + 2016 + 2016^2, ta có:

2016 + 14012016 = 14014032 = (2016 * 6962)

2016 + 2016 + 2016^2 = 3 * 2016^2 = 3 * (2016 * 2016)

Khi đó, số dư r cần tìm sẽ là:

r = (2016 * 6962) % (3 * (2016 * 2016))

r = 2784

Vậy kết quả là r = 2784.