a/ Ta có:
$$\begin{cases} \widehat{AHE} = \widehat{AFH} = 90^\circ \ \widehat{AEC} = \widehat{AFB} = 90^\circ \end{cases}$$
Vậy ta có tam giác $AHE$ và $AEC$ đồng dạng, tam giác $AFH$ và $AFB$ đồng dạng. Từ đó suy ra:
$$\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB}$$
Tương đương với $AE \cdot AB = AF \cdot AC$. Vậy ta có $AE \cdot AC = AF \cdot AB$.

b/ Ta có:
$$\begin{cases} \widehat{AEF} = \widehat{ABC} \ \widehat{AFE} = \widehat{ACB} \end{cases}$$
Vậy ta có tam giác $AEF$ và $ABC$ đồng dạng. Tương tự, ta có tam giác $BFD$ và $BCA$ đồng dạng.

c/ Ta có:
$$\begin{cases} \widehat{CFD} = \widehat{CBH} \ \widehat{CDF} = \widehat{CHB} \end{cases}$$
Vậy ta có tam giác $CFD$ và $CBH$ đồng dạng.

d/ Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $BCE$ và đường thẳng $F-I-A$, ta có:
$$\frac{FB}{FE} \cdot \frac{IE}{IC} \cdot \frac{AC}{AB} = 1$$
Tương đương với:
$$\frac{FB}{FE} = \frac{IB}{IC} \cdot \frac{AB}{AC}$$
Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $BFC$ và đường thẳng $E-I-A$, ta có:
$$\frac{EC}{EF} \cdot \frac{IF}{IB} \cdot \frac{AB}{AC} = 1$$
Tương đương với:
$$\frac{IF}{IE} = \frac{IB}{IC} \cdot \frac{AB}{AC}$$
Từ đó suy ra $IF \cdot IE = IB \cdot IC$.

e/ Ta có:
$$\begin{cases} \widehat{AEF} = \widehat{ABC} \ \widehat{AFE} = \widehat{ACB} \end{cases}$$
Vậy ta có tam giác $AEF$ và $ABC$ đồng dạng. Tương tự, ta có tam giác $BFD$ và $BCA$ đồng dạng. Từ đó suy ra tam giác $BFD$ đồng dạng với tam giác $EFA$.

Do đó, $\widehat{BFH} = \widehat