a/ Ta có:

- Tam giác AMD và tam giác CMB cùng có góc AMB, nên chúng đồng dạng.
- Tương tự, tam giác DMC và tam giác BMA cũng đồng dạng.
- Tam giác AMN và tam giác CMN cùng có góc MNC, nên chúng đồng dạng.
- Tương tự, tam giác DQN và tam giác BQN cũng đồng dạng.

Do đó, ta có:

- AN/NC = AM/BM (theo tỉ số đồng dạng tam giác AND và tam giác CNQ)
- DN/QC = DM/BM (theo tỉ số đồng dạng tam giác DNM và tam giác BQC)

Chia hai biểu thức trên với nhau, ta được:

(AN/NC) / (DN/QC) = (AM/BM) / (DM/BM)

Tức là:

AN.DC = ND.CM

Vậy tam giác AND và tam giác CNQ đồng dạng theo công thức tỉ số đồng dạng.

b/ Ta có:

- Tam giác ANM và tam giác CNM cùng đồng dạng (theo a/).
- Ta có AM = 6cm và AB = 10cm, suy ra BM = 4cm.
- Ta có ND = AB - AN = 10cm - AN và MC = AB - BM = 10cm - 4cm = 6cm.

Do đó, ta có:

AN/NC = AM/MC (theo tỉ số đồng dạng tam giác ANM và tam giác CNM)

Tức là:

AN/NC = 6/6

AN = NC

Chú ý rằng, từ bước trên ta có thể suy ra được: ND = MC = 6cm.

Ta cũng có:

AN/ND = AM/MN (theo tỉ số đồng dạng tam giác ANM và tam giác MND)

Tức là:

MN = (AN x ND)/AM = (AN x 6)/6 = AN

Do đó, ta có:

AN.ND = MN.NC

Vậy ta đã chứng minh được AN.ND = MN.NC.

c/ Ta có:

- Tam giác BQC và tam giác DQN đồng dạng (theo a/).
- Ta có AN.ND = MN.NC (theo b/).

Do đó, ta có:

AN/NC = ND/MC

Tức là:

AN/(10 - BM) = ND/BM

Thay AM = 6cm và BM = 4cm vào, ta được:

AN/6 = ND/4

Tức là:

AN = (3/2)ND

Thay vào biểu thức AN.ND = MN.NC, ta được:

(MN/ND) x ND^2 = (3/2)ND x NC

Tức là:

MN/ND = 3/2

Do đó, ta có:

MN = (3/2)ND = (3/2)MC

Thay vào tam giác CQB, ta được:

CQ^2 = BQ^2 + BC^2 = (BM + MN)^2 + BC^2 = (4 + (3/2)MC)^2 + AD^2

= (4 + (3/2) x 6)^2 + 9

= 289/4

Vậy độ dài CQ là:

CQ = sqrt(289/4) = 17/2

Vậy độ dài CQ là 8,5cm.