a/ Ta có:
- Góc AHB = 180° - góc ACB (do ABHC là tứ giác nội tiếp)
- Góc AFB = góc ACB (do AB // CF)
- Góc AEC = góc ACB (do AC // BE)
- Góc BFC = 180° - góc AFB - góc AEC = 180° - góc ACB - góc ACB = 180° - 2góc ACB
- Góc BHD = 180° - góc AHB = góc ACB
- Góc BEC = góc BFC (cùng nằm giữa hai đường thẳng AB và CF)
Vậy tứ giác BFHD và BFEC đều nội tiếp.

b/ Ta có:
- Góc BHD = góc ACB (do BFHD nội tiếp)
- Góc HBE = góc CBE (do BH đứng song song với CD)
Nên tứ giác BHDC và BCEH đồng dạng. Khi đó:
BD.BC = BH.CE = BH.BE (vì BCEH nội tiếp)

c/ Ta có:
- Góc AHB = 180° - góc ACB
- Góc ADB = 90° (do AD là đường cao trong tam giác ABC)
- Góc AHB = góc BHD (do BFHD nội tiếp) = góc BHM (do BM song song với FD)
Vậy tam giác BMH là tam giác cân (vì BM = MH)

d/ Gọi I là trung điểm của AB, ta có:
- Góc AIB = 60° (do góc ACB = 30°)
- Diện tích tam giác AIB là S = 1/2 * AI * IB * sin(AIB) = 1/2 * R * R * sin(60°) = R^2 * sqrt(3) / 4
- Gọi E là điểm cắt của đường thẳng EF với đường tròn (O;R) (E khác A). Khi đó, góc BCF = góc BEF = 90° (do BFEC nội tiếp), nên tam giác BCF vuông tại B.
- Diện tích cung nhỏ AB là 1/6 diện tích đường tròn (O;R) tương ứng với góc 60°, nên diện tích cung nhỏ AB là S1 = 1/6 * pi * R^2 / 3 = pi * R^2 / 18
- Diện tích hình viên phân tạo bởi dây AB và cung nhỏ AB là S2 = S - S1
- Ta có: S2 = S - S1 = R^2 * sqrt(3) / 4 - pi * R^2 / 18 = R^2 * (3sqrt(3) - pi) / 18
Vậy diện tích hình viên phân tạo bởi dây AB và cung nhỏ AB là R^2 * (3sqrt(3) - pi) / 18.