a) Ta có $AH$ là đường cao của tam giác vuông $ABC$, suy ra $AH^2 = BH \cdot CH$.

Mặt khác, ta biết $AB^2 + AC^2 = BC^2$ (định lý Pythagoras). Thay $AB = 12$ và $AC = 16$ vào ta được:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 12^2 + 16^2 = 400$

Vậy $BC = \sqrt{400} = 20$ (vì $BC > 0$).

b) Áp dụng định lí phân giác góc ta có:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

Mà ta biết $BH = BD + DH$ và $CH = CD + HD$, suy ra:

$\frac{BH}{CH} = \frac{BD+DH}{CD+HD} = \frac{BD}{CD} \cdot \frac{BD+DH}{BD+HD}$

Nhân hai vế của phương trình bằng $\frac{AH}{AH}$ ta được:

$\frac{BH}{CH} = \frac{BD}{CD} \cdot \frac{BD+DH}{BD+HD} \cdot \frac{AH}{AH}$

$\frac{BH}{CH} = \frac{BD}{CD} \cdot \frac{AB}{AC}$

$\frac{AH}{CH} = \frac{BD}{CD} \cdot \frac{AB}{AC}$

Do đó:

$\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{CH} = \frac{BH}{BC-BH} = \frac{12}{20-BC}$

Từ đó suy ra:

$\frac{12}{16} = \frac{12}{20-BC}$

$BC = 15$

c) Ta có:

$\frac{BD}{DC} = \frac{3}{4}$

Mà $BD + DC = BC = 15$, suy ra:

$BD = \frac{3}{7} \cdot 15 = \frac{45}{7}$ và $DC = \frac{4}{7} \cdot 15 = \frac{60}{7}$

Suy ra $CD - BD = \frac{15}{7}$.

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông $ABD$ ta có:

$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 12^2 - (\frac{45}{7})^2$

$AD = \frac{36}{7}$

Tương tự, áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông $ACD$ ta có:

$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 16^2 - (\frac{60}{7})^2$

$AD = \frac{64}{7}$

Vậy $BD = \frac{45}{7}$ và $CD = \frac{60}{7}$