a) Để chứng minh (d) và (P) luôn có điểm chung với mọi giá trị của m, ta cần giải phương trình sau để tìm điểm giao nhau của (d) và (P):

y = x^2 (1)

y = mx - m + 1 (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

mx - m + 1 = x^2

⇒ x^2 - mx + m - 1 = 0 (3)

Phương trình (3) có nghiệm x khi và chỉ khi Δ ≥ 0, trong đó Δ là delta (định thức) của phương trình. Ta có:

Δ = m^2 - 4*(m - 1)

= m^2 - 4m + 4

= (m - 2)^2

Vì (m - 2)^2 luôn không âm (≥ 0) với mọi giá trị m, nên (3) luôn có nghiệm, tức là (d) và (P) luôn có điểm chung với mọi giá trị của m.

b) Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1, x2. Khoảng cách từ mỗi điểm đến trục tung là |x1| và |x2|. Yêu cầu của bài toán là tìm giá trị m sao cho |x1| + |x2| = 4.

Ta biết rằng nghiệm của phương trình (3) là:

x1, x2 = [m ± sqrt((m - 2)^2)] / 2

Do đó:

|x1| + |x2| = |m/2 + (m - 2)/2| + |m/2 - (m - 2)/2|

= |m| + |2 - m|

Ta cần giải phương trình sau đây để tìm m:

|m| + |2 - m| = 4

Phân tích:

1. Nếu m ≤ 2, ta có -m + 2 - m = 4, từ đó suy ra m = -1.
2. Nếu m > 2, ta có m + m - 2 = 4, từ đó suy ra m = 3.

Vậy, giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tổng khoảng cách đến trục tung bằng 4 là m = -1 hoặc m = 3.