Đề bài đưa ra bất phương trình: 2(a + b) < a² + b² + 2. Hãy chúng minh bất phương trình này đúng với mọi a, b.

Để dễ dàng chứng minh, ta có thể viết lại bất phương trình trên dưới dạng sau: 

a² - 2a + 1 + b² - 2b + 1 > 0.

Nhận thấy rằng, a² - 2a + 1 là dạng hoàn thiện bình phương (a - 1)² và tương tự, b² - 2b + 1 cũng là dạng hoàn thiện bình phương (b - 1)².

Vậy bất phương trình trở thành:

(a - 1)² + (b - 1)² > 0.

Điều này luôn đúng với mọi a, b không cùng bằng 1 (vì nếu cả a, b đều bằng 1 thì biểu thức sẽ bằng 0, không lớn hơn 0). 

Vậy, ta đã chứng minh xong bất phương trình đúng với mọi a, b không cùng bằng 1. Trường hợp a = b = 1 là trường hợp đặc biệt không thoả mãn bất phương trình.