Để chứng minh tứ giác BMCN nội tiếp, ta cần chứng minh góc BMN = góc BCN.
Ta có: góc BMN = góc BMA (do MA//BC) và góc BCN = góc BAM (cùng chắn cung BM trên đường tròn).
Vì vậy, để chứng minh tứ giác BMCN nội tiếp, ta cần chứng minh góc BMA = góc BAM.
Ta có: góc BMA = góc BCA (cùng chắn cung BM trên đường tròn) và góc BAM = góc MBA (do tam giác MAB cân tại M).
Vì vậy, góc BMA = góc BAM, suy ra tứ giác BMCN nội tiếp.

Để chứng minh tứ giác ACNI nội tiếp và IN // KB, ta sử dụng tính chất của tứ giác điều hòa.
Gọi K là trung điểm của đường kính BK, ta có KN là đường trung bình của tam giác BMC.
Do đó, tứ giác BMCN là tứ giác điều hòa, suy ra N là trung điểm của BM.
Từ đó, ta có NA = NB (cùng là bán kính đường tròn), góc BNA = 90 độ (do NA, NB là tiếp tuyến và AB là đường kính), suy ra tứ giác ABNC là hình vuông.
Vì vậy, góc BAC = góc BNC = 90 độ.
Do đó, tứ giác ACNI nội tiếp (do tứ giác BMCN nội tiếp) và IN // KB (do ABNC là hình vuông và KN là đường trung bình của tam giác BMC).