a. Để tính thể tích của hộp, ta cần biết chiều cao của nó. Theo đề bài, chiều dài bằng trung bình cộng chiều rộng và chiều cao, ta có thể viết thành phương trình:
l = (w + h) / 2
Với w là chiều rộng, l là chiều dài, h là chiều cao.
Ta thấy rằng h = 2l - 2w, thay vào công thức tính thể tích hộp:
V = w * l * h = w * l * (2l - 2w) = 2wl(l-w)
Để tính giá trị của V, ta cần biết giá trị của w và l. Theo đề bài, w = 5cm và l = (w + h) / 2 = (w + 2l - 2w) / 2 = l - w/2. Từ đó suy ra l = 2w = 10cm.
Thay vào công thức tính V, ta có:
V = 2wl(l-w) = 2510*(10-5/2) = 375 cm^3
Vậy thể tích của cái hộp là 375 cm^3.

b. Để tính diện tích các mặt ngoài của hộp, ta cần biết kích thước của chúng. Hộp không có nắp, nên diện tích các mặt ngoài của hộp bằng tổng diện tích các mặt của 3 khối hộp nhỏ hơn có kích thước tương tự. Mặt đáy và mặt trên của hộp là hình vuông có cạnh bằng w = 5cm, diện tích mỗi mặt là S1 = w^2 = 25 cm^2. Mặt bên của hộp là hình chữ nhật có chiều dài bằng l = 10cm và chiều cao bằng h = l - w/2 = 8.75cm (tính theo phần a). Diện tích mỗi mặt bên là S2 = l * h = 87.5 cm^2.
Vậy tổng diện tích các mặt ngoài của hộp là:
S = 3S1 + 4S2 = 325 + 487.5 = 350 cm^2
Để dán giấy màu lên các mặt ngoài của hộp, bạn Lan cần sử dụng 350 cm^2 giấy màu.