1) Chứng minh HO.HA=HE.HF

Từ giả thiết, ta có:

+ OA là đường kính của (O) nên ∠OAB = ∠OAC = 90° (1)
+ AB, AC là tiếp tuyến của (O) tại B và C nên ∠OBA = ∠OCA = 90° (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra ∆OAB ~ ∆OCA (vì chúng có 2 góc bằng nhau) => OA/OB = OA/OC => OB = OC

Do đó, BC là dây của (O) và OB = OC nên B, C, O đồng quy tại H => ∠BHC = 90°

Gọi I là giao điểm của FH và BC. 

Do ∠BHC = 90° và ∠FHE = 90° (E là tiếp điểm của (O) tại đường FH) nên HI là đường cao của ∆BHC và ∆FHE

=> HI^2 = HB.HC = HE.HF (3)

Từ (3) và ∆OAB ~ ∆OCA, ta suy ra:

HA/HO = HB/OC = HC/OB = HF/OE => HO.HA = HE.HF

2) Chứng minh A0 là tia phân giác của ∠EAF

Từ (1) và ∠OBA = ∠OCA = 90°, ta có:

∠BAO = ∠CAO = 90° - ∠OAB = 90° - ∠OAC = ∠OBA = ∠OCA

=> ∠BAO = ∠OCA và ∠OAB = ∠OAC 

=> ∠BAH = ∠CAH

Do ∠BAH = ∠CAH và ∠BHA = ∠CHA, ta suy ra ∆BAH ~ ∆CAH => AH/AB = AH/AC 

Và ∠EAF = ∠EAB + ∠BAC = ∠EAB + ∠CAF => ∠EAB = ∠CAF

Từ ∠EAB = ∠CAF và AH/AB = AH/AC, ta suy ra rằng A0 là tia phân giác của ∠EAF.