a) Ta có:
25 - y² = 8(x - 2009)
Điều kiện để phương trình có nghiệm thực là: 25 - y² ≥ 0 ⇒ -5 ≤ y ≤ 5
Đặt hàm số f(x) = 8(x - 2009), ta có đồ thị của hàm số là một đường thẳng có hệ số góc dương. Để tìm giá trị của x, ta cần tìm giao điểm của đường thẳng đó với đoạn thẳng [-5, 5].
Khi y = -5, ta có: 25 - y² = 0 ⇒ x = 2009 + 0 = 2009.
Khi y = 5, ta có: 25 - y² = 0 ⇒ x = 2009 + 0 = 2009.
Do đó, nghiệm của phương trình là x = 2009.
b) Ta đưa cả hai vế về dạng chung của y và x:
25 - y² = 8(x - 2009) ⇒ y² = 25 - 8(x - 2009) = -8x + 16017
x³y = xy²³ + 1997 ⇒ y = x²²⁻² - 1997/x²
Thay y vào biểu thức x³y, ta được:
x³y = x²² - 1997x
Thay y vào biểu thức y², ta được:
y² = -8x + 16017
Suy ra: x³y = (x²² - 1997x)(y²/8 - 2014/8)
⇔ x³y = (-1/8)x²y² + (x² + 15976/8)x - 1997y² - 2014
Thay y vào biểu thức x+y+9=xy-7, ta được:
x + (x²²⁻² - 1997/x²) + 9 = x²²⁻² - 7x² + 2
⇔ x²²⁻²x³ - 7x⁴ + 2x³ - x² - 1997 = 0
Không có phương pháp chính xác để giải phương trình bậc 4. 
c) Để tìm c₁, ta cần giải hệ phương trình sau:
{ x + y + z = 4
{ x - y + 2z = 2
{ 3x - y + z = 7
Cách giải bằng phương pháp ma trận:
Gọi ma trận hệ số là A và ma trận hệ số mở rộng là [A|B], ta có:
A = [1 1 1; 1 -1 2; 3 -1 1]
B = [4; 2; 7]
|A| = -6 ≠ 0, do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Ma trận nghịch đảo của ma trận A là:
A⁻¹ = [-1/6 -1/2 1/3; 1/6 -1