Để chứng minh AM = AN, ta sẽ sử dụng một số định lý và đặc tính của tam giác và đường tròn.

Chú ý rằng:

- Trong một tam giác, đường cao là đường từ một đỉnh đến phía đối diện của nó và cắt nó vuông góc.
- Đường kính của một đường tròn là đường dẫn qua trung tâm của nó và kết nối hai điểm trên đường tròn.
- Trung điểm của một đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai điểm đầu cuối của nó.

Đầu tiên, ta nhận ra rằng tam giác ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn có tâm O và đường kính AF. Điều này có nghĩa là O là trung điểm của AF. Do đó, ta có AO = OF.

Tiếp theo, ta xem xét đường cao AK của tam giác ABC. AK cắt đường tròn tại M và cắt AO tại A'. Do đó, ta có AA' = A'M.

Cuối cùng, ta xem xét đường cao BD của tam giác ABC. BD cắt đường tròn tại N. Vì BD là đường cao và AN là đường kính, theo định lý Thales, tam giác ABD là tam giác vuông tại D. Do đó, ta có AD = DN.

Từ các khẳng định trên, ta có thể thấy rằng AM = AA' + A'M = AN. Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng AM = AN.