Để chứng minh điểm A nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác EFK, ta cần chứng minh góc EAF là góc vuông.

Vì M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD, ta có: MN là đường chéo của hình chữ nhật ABCD và đi qua tâm O của hình chữ nhật.

Vì M là trung điểm của BC, ta có: BM = MC.

Vì N là trung điểm của CD, ta có: DN = NC.

Từ hai điều trên, ta suy ra: BM = MC = DN = NC.

Khi đó, ta có: △BMC ≅ △DNC (do có hai cạnh bằng nhau và cạnh chung MN).

Vậy, ta có góc MBC = góc NCB.

Tiếp theo, ta xét tam giác BNA. Ta biết AM là đường phân giác góc nội tiếp tại A và BN là đường phân giác góc ngoại tiếp tại B.

Do đó, ta có: góc BAN = góc ABN.

Nhưng ta đã chứng minh rằng góc MBC = góc NCB.

Vậy, ta có: góc BAN = góc ABN = góc MBC = góc NCB.

Vậy, tam giác BAN và tam giác MBC có cặp góc đồng nhất.

Từ đó, suy ra tứ giác ABNM là tứ giác nội tiếp.

Do đó, ta có: góc BAN + góc NMA = 180° (tổng góc ở tâm).

Nhưng góc BAN = góc EAF (do ABNM là tứ giác nội tiếp) và góc NMA = góc EKF (do AM là đường phân giác góc nội tiếp tại A).

Vậy, ta có: góc EAF + góc EKF = 180°.

Do đó, góc EAF là góc bù của góc EKF.

Vậy, điểm A nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác EFK, và góc EAF là góc vuông.