Để chứng minh rằng đoạn thẳng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta cần chứng minh BC vuông góc với đường thẳng đi qua tâm O và đi qua điểm C.

Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Vì AB tiếp xúc đường tròn (O) tại điểm A, nên đường thẳng AO là đường phân giác góc nội tiếp tại A. Do đó, IO là đường phân giác góc trong tam giác AIB.

Vì IB là đường phân giác trong tam giác ABC (vì BC cắt đường tròn (O) tại điểm C), nên ta có AI = CI (vì I là trung điểm của AB).

Đồng thời, từ I, ta có OB = OA (vì O là tâm đường tròn (O)).

Vậy, tam giác AIO và tam giác CIB là hai tam giác cân, với các cạnh góc nhọn của chúng đồng thời là cạnh chung AI và IB.

Do đó, ta có góc AIO = góc CIB.

Nhưng góc AIO và góc CIB nằm ở cùng cung AC trên đường tròn (O), vì B là một điểm trên đường thẳng AC.

Vậy, BC vuông góc với đường thẳng đi qua tâm O và đi qua điểm C.

Do đó, BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).