a) Để chứng minh rằng tứ giác ABNM nội tiếp, ta cần chứng minh góc ANM = góc ABM.

Ta biết tứ giác AABC là tứ giác vuông tại A, do đó góc ABM = 90 độ.

Ta cũng biết đường tròn (O) có đường kính MC, do đó góc MOC = 90 độ.

Vì tứ giác AABC là tứ giác vuông tại A, nên góc MAC = 90 độ.

Khi ta quan sát tứ giác ANMC, ta thấy rằng góc ANM chính là góc MAC và góc MOC, tức là góc ANM = góc ABM.

Vậy, từ góc ANM = góc ABM, ta có thể kết luận rằng tứ giác ABNM nội tiếp.

b) Để chứng minh rằng AB . BK = BC . BN, ta sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng.

Gọi góc BAC = α, ta có góc AKB = góc ANC = góc ABC = α (do cùng nằm ở cung tròn cắt tương ứng).

Vì tứ giác ABNM nội tiếp, ta có góc ANM = góc ABM = 90 độ.

Do đó, tam giác AKB và tam giác ANB đồng dạng (có hai góc bằng nhau).

Từ đó, ta có tỷ số cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng như sau:

AB/BK = AN/BN

Từ đó suy ra AB . BN = AN . BK.

Nhưng ta biết rằng AN = AC + CN và BN = BC - CN.

Thay vào phương trình trên, ta có:

AB . BN = (AC + CN) . BK
          = AC . BK + CN . BK
          = AC . BK + BC . CN - CN . BK
          = AB . BK + BC . CN - CN . BK
          = AB . BK + BC . CN

Vì vậy, AB . BK = BC . BN.

c) Để chứng minh rằng B, M, I thẳng hàng, ta sử dụng tính chất của tam giác vuông.

Gọi góc BAC = α.

Vì MN là đường kính của đường tròn (O), nên góc MNC = 90 độ.

Ta đã chứng minh rằng tam giác AKB và tam giác ANB đồng dạng, do đó góc AKB = góc ANB = α.

Vì góc MNC = góc ANB = α và góc NMC = góc BAC = α, nên ta có hai góc trong tam giác MNC bằng hai góc trong tam giác ABC.