a) Chứng minh tứ giác AEHB nội tiếp:

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao BH là đường cao của tam giác ABC.

Vì vậy, ∠BHA = 90°.

Từ đó, ta có ∠BHE = 90° - ∠BHA = ∠BAC.

Vì AE là hình chiếu của B trên đường thẳng AN, nên ∠AEB = ∠BAC.

Vậy, ta có ∠BHE = ∠AEB.

Từ đó, ta suy ra rằng tứ giác AEHB nội tiếp.

b) Chứng minh BH.AN = AB.NC:

Vì tứ giác AEHB nội tiếp, nên ∠BHE = ∠BAE.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ∠BAC = 90°.

Từ đó, ta có ∠BHE = ∠BAC - ∠BAE = ∠BAE = ∠HAB.

Vậy, hai tam giác BHE và BAH đồng dạng.

Do đó, ta có:

BH/BA = BE/BC (đồng dạng tam giác)

Và AN/AB = NC/BC (đồng dạng tam giác)

Nhân cả hai phương trình vừa có, ta có:

(BH/BA) * (AN/AB) = (BE/BC) * (NC/BC)

Simplifying, ta được:

BH.AN = BE.NC

Vậy, ta đã chứng minh BH.AN = AB.NC.

c) Chứng minh HE song song với CN:

Vì tứ giác AEHB nội tiếp, nên ∠BHE = ∠BAE.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ∠BAC = 90°.

Từ đó, ta có ∠BHE = ∠BAC - ∠BAE = ∠BAE = ∠CAN.

Vậy, HE song song với CN (vì có cặp góc tương đồng).