Để chứng minh rằng BD // AM, chúng ta sẽ sử dụng các định lí và quy tắc của hình học để phân tích và chứng minh.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng tứ giác MBNC là tứ giác điều hòa. Điều này được suy ra từ việc AM và BN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O;R). Mà tứ giác điều hòa có một đường chéo chia đôi đường cao của nó.

Do đó, ta có NM là đường cao của tứ giác MBNC, và vì N là trung điểm của MA nên NM cũng là đường cao của tam giác MAB.

Khi đó, theo tính chất của đường cao, ta có NM ⊥ AB. Nhưng AB là đường kính của đường tròn (O;R), vậy NM cũng là đường kính của đường tròn.

Vì NM là đường kính của đường tròn, nên M, C, D cùng nằm trên đường tròn (O).

Do đó, theo tính chất của đường tròn, ta có: ∠MCB = ∠MDB (1) và ∠MBC = ∠BDM (2).

Từ (1) và (2), ta suy ra rằng tam giác MBC và tam giác MDB có cặp góc đồng nhất, vì vậy chúng là hai tam giác đồng dạng.

Khi hai tam giác là đồng dạng, các cặp góc đồng nhất tương ứng như ∠MBC = ∠BDM cho ta biết cặp cạnh tương ứng cũng tỉ lệ. Ta có:

MB/MD = BC/BD.

Nhưng ta biết rằng tứ giác MBNC là tứ giác điều hòa, nên BC/BM = NC/NM.

Kết hợp hai biểu thức trên, ta có:

MB/MD = BC/BD = NC/NM.

Vì N là trung điểm của MA, nên NC = 1/2MA và NM = 1/2MA.

Thay vào biểu thức trên, ta có:

MB/MD = BC/BD = (1/2MA)/(1/2MA) = 1.

Do đó, theo định lí tỉ lệ cắt, ta kết luận BD // AM.

Vậy, đã chứng minh được rằng BD // AM.