a) Để phương trình (1) có nghiệm, ta cần và đủ điều kiện là delta của phương trình (1) lớn hơn hoặc bằng 0. Ta có:

delta = (2m + 1)² - 4(m² + 3m) = 4m² + 4m + 1 - 4m² - 12m = -8m + 1

Để delta không âm, ta cần giải bất phương trình sau:

-8m + 1 ≥ 0

⇔ m ≤ 1/8

Vậy điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm là m ≤ 1/8.

b) Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Ta có:

Q = x1² + x2²

Áp dụng công thức Viète, ta có:

x1 + x2 = - (2m + 1)

x1x2 = m² + 3m

Ta sẽ tìm cách biểu diễn Q bằng các giá trị đã biết:

Q = x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2x1x2

= (2m + 1)² - 2(m² + 3m)

= 4m² + 4m + 1 - 2m² - 6m

= 2m² - 2m + 1

= (m - 1/2)² + 1/4

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1/4, đạt được khi và chỉ khi m = 1/2.