a. Ta có:
   - Tứ giác OHDC là tứ giác nội tiếp nếu và chỉ nếu tổng hai góc ở đỉnh đối diện bằng 180 độ.
   - Góc HOD là góc nhọn bằng góc COD (vì AB và AC là tiếp tuyến nên góc nhọn đối diện bằng góc ngoài).
   - Góc ODC là góc nhọn bằng góc OBC (vì AB và AC là tiếp tuyến nên góc nhọn đối diện bằng góc ngoài).
   - Vì góc COD và góc OBC có cùng góc nhọn, nên tổng hai góc ở đỉnh đối diện bằng 180 độ.
   Do đó, ta có tứ giác OHDC là tứ giác nội tiếp.

b. Ta có:
   - OH là đường kính của đường tròn (O), nên độ dài OH bằng R.
   - OD là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (BCD), nên OD vuông góc với BC.
   - Đường thẳng OA cắt đường tròn (O) tại B và C, nên OB và OC cùng là bán kính R.
   - Ta có tứ giác OHDC là tứ giác nội tiếp (theo phần a), nên góc OHC bằng góc ODC.
   - Góc ODC là góc vuông (vì OD vuông góc với BC).
   - Vậy, góc OHC cũng là góc vuông.
   - Do đó, tứ giác OHLD là tứ giác nội tiếp (hai cạnh chéo vuông góc nhau).
   - Từ đó, ta có OH.OA = OL.OD theo tính chất của tứ giác nội tiếp.
   - Vì OL = R (đường tròn (O) có tâm O và bán kính R), nên ta có OH.OA = OLOD.

c. Ta cần chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn (O):
   - Vì AM cắt cung nhỏ BC tại M, nên cần chứng minh góc MOC bằng 90 độ (điều này sẽ chỉ ra rằng AM là tiếp tuyến).
   - Ta có tứ giác OHDC là tứ giác nội tiếp (theo phần a), nên góc OHC bằng góc ODC.
   - Góc ODC là góc vuông (vì OD vuông góc với BC).
   - Vậy, góc OHC cũng là góc vuông.
   - Do đó, góc MOC bằng 90 độ

.
   - Vậy, AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).