Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp loại trừ hoặc thay thế.

Phương trình 1: x² - 3xy + y² = 9   (1)
Phương trình 2: 8x + xy - 3y = 24   (2)

Ta sẽ tiến hành giải hệ phương trình bằng phương pháp loại trừ:

Nhân phương trình (2) với -3:
-24x - 3xy + 9y = -72   (3)

Cộng phương trình (1) và (3):
(x² - 24x) + (-3xy + 3xy) + (y² + 9y) = 9 - 72
x² - 24x + y² + 9y = -63   (4)

Chuyển vế và viết lại phương trình (4):
x² - 24x + y² + 9y + 63 = 0   (5)

Bây giờ chúng ta có một phương trình tổng quát bậc 2. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng phương trình bậc hai hoặc hoàn thành bình phương.

Để giải phương trình (5), chúng ta cần xác định các hệ số a, b, c:
a = 1
b = -24
c = y² + 9y + 63

Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Thay các giá trị vào công thức, ta có:
x = (-(-24) ± √((-24)² - 4(1)(y² + 9y + 63))) / (2(1))
x = (24 ± √(576 - 4(y² + 9y + 63))) / 2
x = (24 ± √(576 - 4y² - 36y - 252)) / 2
x = (24 ± √(324 - 4y² - 36y)) / 2
x = (24 ± √(4(81 - y² - 9y))) / 2
x = (24 ± 2√(81 - y² - 9y)) / 2
x = 12 ± √(81 - y² - 9y)

Vậy, các giá trị của x phụ thuộc vào giá trị của y theo công thức x = 12 ± √(81 - y² - 9y).

Để tìm các nghiệm của hệ phương trình ban đầu, chúng ta sẽ thay các giá trị của x vào phương trình (2) để tìm giá trị tương ứng của y. Sau đó, thay cả hai giá trị x và y vào phương trình (1) để kiểm tra xem chúng có thỏa mãn hay không.

Để tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 và thỏa mãn điều kiện (x1-1)(x2²-3x2+m-6) = -3, ta cần giải quyết hai bước:

Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình x²-4x+m-5=0

Ta sử dụng công thức giải phương trình bậc 2 để tìm nghiệm x1 và x2:

x1,2 = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

Trong đó, a = 1, b = -4 và c = m-5.

Theo điều kiện của bài toán, ta yêu cầu phương trình có hai nghiệm phân biệt, vì vậy điều kiện (b²-4ac) > 0.

Từ đó, ta có:

(-4)² - 4(1)(m-5) > 0
16 - 4m + 20 > 0
36 - 4m > 0
4m < 36
m < 9

Vậy, để phương trình có hai nghiệm phân biệt, giá trị của m phải nhỏ hơn 9.

Bước 2: Tìm giá trị của m để (x1-1)(x2²-3x2+m-6) = -3

Khi đã có nghiệm x1 và x2 từ bước 1, ta thay vào phương trình (x1-1)(x2²-3x2+m-6) = -3 và tìm giá trị của m thỏa mãn phương trình này.

Thay x1 và x2 vào phương trình:

(x1-1)(x2²-3x2+m-6) = -3
(x1-1)((x2-3)² + (m-15)) = -3

Để biểu thức bên trái của phương trình bằng -3, ta cần giá trị của (x2-3)² + (m-15) bằng 3.

Vì (x2-3)² luôn không âm, nên (m-15) phải âm. Ta có:

(m-15) < 0
m < 15

Vậy, giá trị của m phải nhỏ hơn 15 để thỏa mãn điều kiện (x1-1)(x2²-3x2+m-6) = -3.

Tổng kết lại, để phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện (x1-1)(x2²-3x2+m-6) = -3, giá trị của m phải nhỏ hơn 9 và nhỏ hơn 15. Vì vậy, các giá trị của m thỏa mãn là m < 9.