a) Chứng minh các tứ giác MNCP và BMPN là hình bình hành:
- Ta biết rằng M là trung điểm của cạnh AB, nên AM = MB.
- Vì MP song song với BC và MN song song với AC, nên ta có MP || BC và MN || AC.
- Từ đó, theo định lý các cạnh đối của hình bình hành, ta có MN = AC và MP = BC.
- Vì MN = AC và MP = BC, nên ta có MN = AC = MP = BC.
- Như vậy, ta đã chứng minh được tứ giác MNCP và BMPN là hình bình hành.

b) Chứng minh IQ = 1/2 MP:
- Ta có tứ giác MNCP là hình bình hành, nên MQ || NP và MQ = NP.
- Gọi I là giao điểm của MN và BP, ta cũng có MI || BP và MI = BP.
- Vì MQ || NP và MI || BP, ta có MIQN là hình bình hành.
- Do đó, IQ là đường chéo của hình bình hành MIQN, nên IQ chia đôi đường chéo MN theo tỉ lệ 1:1.
- Vì MP là đường chéo của hình bình hành MNCP, nên theo tính chất của đường chéo, IQ = 1/2 MP.

c) Điều kiện để tứ giác BMPN là hình chữ nhật:
- Tứ giác BMPN là hình chữ nhật khi và chỉ khi MP song song với BN và MB = NP.
- Từ phần a), ta biết rằng tứ giác BMPN là hình bình hành.
- Vì MP song song với BN trong tứ giác BMPN (do BMPN là hình bình hành), nên MP cắt BN tại điểm vô hạn.
- Vì MB = NP (tứ giác BMPN là hình bình hành), nên MP cắt BN tại trung điểm của BN.
- Do đó, để tứ giác BMPN là hình chữ nhật, ta cần và đủ điều kiện là MP cắt BN tại trung điểm của BN.

Bài 2:
a) Tính BD và AO:
- Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AC là đường chéo và cắt nhau tại O.
- Ta có AO = OC = 1/2 AC = 1/2 BD = 1/2(AB + BC) = 1/2(4 + 3) = 3/2 cm.
- Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AD = BC = 3 cm.
- Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABD, ta có BD = √(AB^2 + AD^2) = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5 cm.

b) Chứng minh MN = BI:
- Gọi E là giao điểm của AH và BD.
-

 Ta có AH = 4 cm và BD = 5 cm.
- Vì M là trung điểm của AH, nên AM = 1/2 AH = 2 cm.
- Vì N là trung điểm của DH, nên DN = 1/2 DH = 1/2 BD = 1/2(5) = 2.5 cm.
- Vì I là trung điểm của BC, nên BI = 1/2 BC = 1/2(3) = 1.5 cm.
- Ta thấy MN = AM + DN = 2 + 2.5 = 4.5 cm.
- Ta cũng thấy BI = 1.5 cm.
- Vậy, MN = BI.

c) Chứng minh BM song song với IN:
- Vì M là trung điểm của AH và N là trung điểm của DH, nên MN || AH và MN = 1/2 AH.
- Vì I là trung điểm của BC và N là trung điểm của DH, nên IN || BC và IN = 1/2 BC.
- Vì MN || AH và IN || BC và MN = 1/2 AH = IN = 1/2 BC, nên ta có MN = IN và MN || IN.
- Từ đó, ta suy ra BM song song với IN.

d) Chứng minh góc ANI là góc vuông:
- Vì MN || AH và IN || BC, ta có góc ANI là góc ở giữa hai đường chéo trong hình chữ nhật.
- Theo tính chất của hình chữ nhật, góc ở giữa hai đường chéo là góc vuông.
- Vậy, góc ANI là góc vuông.

bài 1

a) Chứng minh các tứ giác MNCP và BMPN là hình bình hành: Vì MP song song với BC và MN song song với AC, nên theo định nghĩa hình bình hành, ta cần chứng minh MN = PC và MP = BN.

Vì MN song song với AC, nên ta có MN = AC/2.

Vì MP song song với BC và M là trung điểm của AB, ta có MP = BC/2 = AB/2.

Vì P là trung điểm của AC, ta có PC = AC/2.

Vì N là trung điểm của BC, ta có BN = BC/2 = AB/2.

Do đó, ta có MN = PC và MP = BN, tứ giác MNCP và BMPN là hình bình hành.

b) Chứng minh IQ = 1/2 MP: Gọi I' là giao điểm của MN và BP.

Vì MN và BP là hai đường chéo của tứ giác MNCP, nên theo định lý tứ giác có đường chéo, ta có I'P là đường cao của tam giác MPC.

Vì M là trung điểm của AB và P là trung điểm của AC, nên ta có MP = PC.

Vì đường cao I'P chia tam giác MPC thành hai tam giác có cùng đáy MP và cùng chiều cao I'Q, nên diện tích tam giác MPI' = diện tích tam giác CPI'.

Vì IQ là đường cao của tam giác CPI', nên diện tích tam giác CPI' = 1/2 diện tích tam giác MPC.

Vì MP = PC, nên diện tích tam giác MPC = 1/2 diện tích hình bình hành MNCP.

Vậy diện tích tam giác MPI' = diện tích tam giác CPI' = 1/2 diện tích hình bình hành MNCP.

Tương tự, ta có diện tích tam giác MNI = 1/2 diện tích hình bình hành BMPN.

Vì I'Q song song với MN và IQ song song với MP, nên diện tích tam giác MNI = 1/2 diện tích tam giác MPI'.

Vậy diện tích tam giác MNI = diện tích tam giác MPI' = 1/2 diện tích hình bình hành MNCP.

Do đó, ta có IQ = 1/2 MP.

c) Tam giác ABC là hình chữ nhật khi và chỉ khi đường chéo BD là trục đối xứng của MN.