a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp:
Gọi G là giao điểm của AC và EF. Ta cần chứng minh AG là đường cao của tam giác ABC. Vì AD là đường cao của tam giác ABC, nên AG là đường cao của tam giác ABD.
Tương tự, vì BE là đường cao của tam giác ABC, nên BG là đường cao của tam giác BCE. Vậy, AG và BG cùng là đường cao của tam giác ABC, nên chúng cùng đồng quy. Do đó, ta có AG đồng quy với CF (do CF là đường cao của tam giác ABC). Khi đó, theo định lý đồng quy của đường cao và trực tâm, ta có tứ giác AEHF nội tiếp.

b) Chứng minh AF.AB = AE.AC: Ta có tứ giác AEHF nội tiếp, nên theo định lý góc nội tiếp, ta có: ∠AEF = ∠AHF (cùng nằm trên cung AH) Tương tự, ∠AFE = ∠AHE Vậy, ta có hai cặp góc đồng nhất: ∠AEF = ∠AHF và ∠AFE = ∠AHE

Do đó, ta có hai tam giác đồng dạng: AEF và AHF (cùng có hai góc bằng nhau). Từ đó, ta có tỉ lệ đồng dạng: AF/AE = AH/AF Tương đương: (AF)² = AE.AH

Từ tam giác ABC, ta có: AB.AC = AH.AD (do hai tam giác đồng dạng ABD và AHC có tỉ lệ bằng nhau)

Kết hợp hai biểu thức trên, ta có: (AF)² = AE.AH = AB.AC

Vậy, ta đã chứng minh được AF.AB = AE.AC.