Để chứng minh AEHF là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tứ giác AEHF có tứ giác ngược tâm. Ta sẽ chứng minh điều này bằng cách chứng minh hai góc EAF và EHF có cùng ngược tâm.

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AF và EH. Ta cần chứng minh I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Vì AE và BF là đường cao của tam giác ABC, nên theo tính chất của đường cao, ta có:

∠BAE = 90° và ∠ABF = 90°.

Do đó, tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính AB.

Vì tứ giác ABEF nội tiếp trong đường tròn đường kính AB, nên theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có:

∠EAF = ∠EBF.

Tương tự, với CF là đường cao của tam giác ABC, ta có:

∠CAF = 90° và ∠CHF = 90°.

Do đó, tứ giác CFHE cũng nội tiếp trong đường tròn đường kính AC.

Vì tứ giác CFHE nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, nên theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có:

∠EHF = ∠ECF.

Từ hai phương trình trên, ta có:

∠EAF = ∠EBF = ∠EHF = ∠ECF.

Vậy, ta có thể kết luận rằng tứ giác AEHF có tứ giác ngược tâm.

Tương tự, ta cũng có thể chứng minh rằng tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh hai góc ∠BCF và ∠BEC có cùng ngược tâm.

Vì vậy, chứng minh AEHF, BFEC là các tứ giác nội tiếp.