a) Chứng minh rằng tứ giác AKHI là hình chữ nhật OA vuông góc với IK:
Vì AH vuông góc với BC và HI vuông góc với AB, nên góc AHI = góc AKB = 90 độ.
Mà AH // IK (do AH vuông góc với BC và HI vuông góc với AB),nên góc HAI = góc BAK = 90 độ.
Vậy tứ giác AKHI là hình chữ nhật.
Vì OA vuông góc với AB và AKHI là hình chữ nhật, nên OA cũng vuông góc với IK.

b) Chứng minh AM^2 = AL . AB: Vì tứ giác AKHI là hình chữ nhật, nên AH = IK. Vì AM // HK (cùng vuông góc với AB),
ta có tỉ lệ đồng dạng AM/AB = AH/AK.
Từ AKHI là hình chữ nhật, ta có AK = HI.
Vậy tỉ lệ AM/AB = AH/HI.
Nhưng AH = IK và HI = AK, nên tỉ lệ AM/AB = IK/AK.
Từ đó suy ra AM.AK = AB.IK. Nhưng AK = AB + BK và BK = AC, nên AM.AB = AB.IK.
Suy ra AM = IK. Vậy AM^2 = IK^2 = IK.IK = AL . AB.

c) Chứng minh FH' = FC.FD: Gọi H' là hình chiếu của H lên AD.
Vì AH' // BC và HI vuông góc với AB, nên góc AH'I = góc ABC.
Tương tự, góc H'IA = góc BAC.
Vậy tứ giác AHIH' là tứ giác cùng tứ diện.
Do đó, góc AH'H = góc AIH = góc ABC = góc HAF (do AH' // BC).
Vậy tam giác H'AF và tam giác ABC đồng dạng.
Từ đó suy ra FH'/FC = AH'/AB = AH/AB.
Nhưng AH/AB = FD/FC (do tam giác AFD và tam giác AFC đồng dạng).
Vậy FH'/FC = FD/FC. Suy ra FH' = FC.FD.