Để chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng góc A + góc C = 180 độ và góc B + góc D = 180 độ.

Vì AB là đường kính của đường tròn O, nên góc AOB = 90 độ.
Tương tự, vì AD là đường kính của đường tròn O, nên góc AOD = 90 độ.

Vì vậy, góc A + góc C = (góc AOD - góc AOB) + (góc AOB - góc COB) = góc AOD - góc COB.

Để chứng minh góc AOD - góc COB = 180 độ, ta cần chứng minh rằng góc AOD = góc COB.

Ta có:
Góc AOD = 180 độ - góc OAD - góc ODA (1)
Góc COB = 180 độ - góc CBO - góc BCO (2)

Từ (1) và (2), để góc AOD = góc COB, ta cần chứng minh rằng góc OAD + góc ODA = góc CBO + góc BCO.

Nhưng ta biết rằng góc ODA = góc CBO (vì là các góc đối).
Vậy để chứng minh góc AOD = góc COB, ta cần chứng minh rằng góc OAD = góc BCO.

Vì AD là đường kính của đường tròn O, nên góc OAD = 90 độ.
Tương tự, vì BC là đường kính của đường tròn O, nên góc BCO = 90 độ.

Vậy ta có góc OAD = góc BCO, từ đó suy ra góc AOD = góc COB.

Vậy tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Để chứng minh AD^2 = AB x AE, ta cần chứng minh góc EAD = góc BAC.

Vì AB là đường kính của đường tròn O, nên góc BAC = 90 độ.

Vậy ta có góc EAD = 90 độ - góc ADE = 90 độ - góc EAB (vì AB // DE) = 90 độ - góc BAC.

Từ đó suy ra góc EAD = góc BAC.

Vậy tứ giác AEDC là tứ giác cùng tứ giác nội tiếp.

Áp dụng định lý hình thang cân, ta có AD^2 = AB x AE.

Vậy ta đã chứng minh được AD bình bằng ab x Ae.