Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ của điểm tiếp xúc I giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Đầu tiên, ta cần tìm phương trình của mặt cầu. Bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ tâm A đến bất kỳ điểm trên mặt cầu nào. Do đó, ta có:

R^2 = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2

Tiếp theo, ta cần tìm phương trình của mặt phẳng. Phương trình chính tắc của mặt phẳng § là:

2x - 2y + z + 3 = 0

Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng phương trình tham số của mặt phẳng:

x = t
y = -t - (3/2)
z = -2t - 3

Với t là một số thực bất kỳ.

Để tìm tọa độ của điểm tiếp xúc I, ta cần giải hệ phương trình sau:

• Điểm I nằm trên mặt phẳng §, do đó tọa độ của I phải thỏa mãn phương trình của mặt phẳng.

• Khoảng cách từ I đến tâm A bằng bán kính R của mặt cầu.

Từ đó, ta có:

(x_I - 1)^2 + (y_I - 1)^2 + (z_I - 3)^2 = R^2

và

2x_I - 2y_I + z_I + 3 = 0

Thay R^2 bằng biểu thức tìm được ở trên vào phương trình thứ nhất, ta được:

(x_I - 1)^2 + (y_I - 1)^2 + (z_I - 3)^2 = (x_I - 1)^2 + (y_I - 1)^2 + (z_I - 3)^2

• 2(x_I - 1)(t - 1) + 2(y_I - 1)(-t - (3/2)) + 2(z_I - 3)(-2t - 3)

Giải phương trình này, ta tìm được giá trị của t. Sau đó, thay giá trị của t vào phương trình tham số của mặt phẳng, ta tìm được tọa độ của điểm tiếp xúc I.

1. Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ của điểm tiếp xúc của mặt cầu với mặt phẳng.

   Đầu tiên, ta cần viết phương trình của mặt cầu:

   ```
   (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = r^2
   ```

   Với `r` là bán kính của mặt cầu. Ta cần tìm giá trị của `r`.

   Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng, nên đường thẳng nối tâm của mặt cầu và tâm của mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng. Tâm của mặt phẳng có tọa độ là `(0, 0, -3)`, vậy vector pháp tuyến của mặt phẳng là `(2, -2, 1)`.

   Vector từ tâm của mặt cầu đến tâm của mặt phẳng là `(1, 1, 3) - (0, 0, -3) = (1, 1, 6)`. Điểm tiếp xúc của mặt cầu với mặt phẳng là điểm cách tâm của mặt cầu một khoảng bằng bán kính của mặt cầu theo hướng của vector pháp tuyến của mặt phẳng.

   Vậy ta có:

   ```
   r = |(1, 1, 6) . (2, -2, 1)| / sqrt(2^2 + (-2)^2 + 1^2) = 7 / 3
   ```

   Phương trình của mặt cầu là:

   ```
   (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = (7/3)^2
   ```

   Tiếp theo, ta cần tìm phương trình của mặt phẳng. Vì điểm tiếp xúc nằm trên mặt phẳng, nên phương trình của mặt phẳng chính là:

   ```
   2x - 2y + z + 3 = 0
   ```

   Để tìm tọa độ của điểm tiếp xúc, ta giải hệ phương trình:

   ```
   (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = (7/3)^2
   2x - 2y + z + 3 = 0
   ```

   Ta có thể giải hệ phương trình này bằng phương pháp khử Gauss hoặc sử dụng các công thức tính toán để tìm giá