a. Để chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp, ta cần chứng minh góc AMN = góc AHN.

Từ đường tròn nội tiếp (O;R), ta có:
góc ABN = góc ACB (góc ở cùng một cung)

Và từ tam giác vuông ABH, ta có:
góc ABH = góc AHB (góc vuông chung)

Vậy, ta có:
góc ABN = góc AHB

Tương tự, ta có:
góc BAN = góc BMA (góc ở cùng một cung)
góc BHA = góc BAM (góc vuông chung)

Do đó, ta có:
góc BAN = góc BHA

Từ các phương trình trên, ta có:
góc AMN = góc ABN - góc ABM = góc AHB - góc BHA = góc AHN

Vậy, tứ giác AMHN nội tiếp.

b. Để chứng minh ANM = ABC và AM.AB = AN.AC, ta sử dụng các định lý về các góc nội tiếp và đồng dạng của các tam giác.

Do tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp, ta có:
góc ANM = góc AHM (cùng nằm trên cùng một cung NM của đường tròn (O;R))

Từ tam giác AHM và ABC, ta có:
góc AHM = góc ABC (đồng dạng)

Vậy, ta có:
góc ANM = góc ABC

Tương tự, ta có:
góc AMN = góc ACB (đồng dạng)

Do đó, ta có:
góc ANM = góc ABC và góc AMN = góc ACB

Từ đó, ta có:
tam giác ANM đồng dạng với tam giác ABC

Và từ đồng dạng của tam giác, ta có:
AM/AB = AN/AC

Từ định lý nội tiếp, ta có:
AM.AB = AN.AC

Vậy, ta đã chứng minh ANM = ABC và AM.AB = AN.AC.

c. Để chứng minh AAHD cân, ta cần chứng minh góc AAH = góc ADH.

Từ tam giác AHM và ADH, ta có:
góc AHM = góc ADH (cùng nằm trên cùng một cung MH của đường tròn (O;R))

Và từ tam giác AHM và ABC, ta có:
góc AHM = góc ABC (đồng dạng)

Do đó, ta có:
góc ADH = góc ABC

Từ đó, ta có:
góc AAH = góc ADH = góc ABC

V

ậy, tam giác AAH cân.