a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và OH.OA = R:
Ta đã biết rằng AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O;R). Vì vậy, góc AOB và góc AOC là góc vuông (góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp điểm là góc vuông).

Do đó, tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó, OM là đường trung trực của BC và OA (do H là giao điểm của AO và BC).

Vì M là trung điểm của BC, nên BM = CM = R (vì B và C là tiếp điểm của đường tròn (O;R)).
Vậy tứ giác OBMC là hình bình hành.

Do OBMC là hình bình hành, nên OH song song với BC và có độ dài bằng R (vì OH là đường trung trực của BC).
Từ đó, ta có OH.OA = R. (1)

b) Chứng minh tứ giác ABFO nội tiếp và tam giác BEF vuông:
Gọi D là tiếp điểm của dây cung BD và đường tròn (O;R). Khi đó, AD là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) (vì AD vuông góc với dây cung BD tại điểm D).

Gọi E là điểm cắt của đoạn AD và đường tròn (O;R) (khác D). Khi đó, E là trung điểm của đoạn AD.

Vì F là trung điểm của DE, nên EF song song với AD và có độ dài bằng một nửa của AD.

Vì AD là tiếp tuyến của đường tròn (O;R), nên góc BAD là góc vuông.

Do EF song song với AD và EF = (1/2)AD, nên góc BAE cũng là góc vuông.

Vì tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp (chứng minh trong câu a), nên góc BOC là góc vuông.

Từ đó, ta có góc BOC = góc BAE (cùng là góc vuông).
Do đó, tứ giác ABFO là tứ giác nội tiếp.

Vì góc BAE và góc BOC là góc vuông, nên tam giác BEF vuông.

c) Chứng minh tia AO là phân giác của góc DAK:
Gọi K là tiếp điểm của đường kính BK và đường tròn (O;R).

Vì tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp (chứng minh trong câu a), nên góc

 BOC là góc vuông.

Do OB = OC (vì B và C là tiếp điểm của đường tròn (O;R)), nên tia AO là đường phân giác của góc BAC.

Từ đó, ta có tia AO là phân giác của góc DAK.