a) Để chứng minh tứ giác APMO nội tiếp, ta cần chứng minh góc AMP bằng góc OMP.

Vì Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc tạo bởi Ax và đường tròn (O) tại điểm A là góc vuông (90 độ).

Gọi H là giao điểm của Ax và OM. Ta có góc OHM = 90 độ (do đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc).

Do đó, tứ giác AOHM là tứ giác nội tiếp trong đường tròn ngoại tiếp (do có hai góc đối của nó là góc vuông).

Vì tứ giác APMO là tứ giác cắt hai cung cùng tạo bởi hai tiếp tuyến của đường tròn, nên nó cũng nội tiếp trong đường tròn.

b) Để chứng minh BM song song với OP, ta cần chứng minh góc MOB bằng góc MOP.

Vì tứ giác APMO là tứ giác nội tiếp trong đường tròn (đã chứng minh ở câu a), nên góc AOM bằng góc AMP.

Do góc AMP bằng góc OMP (vì APMO là tứ giác nội tiếp), nên ta có góc AOM bằng góc MOP.

Vậy, hai góc AOM và MOP là bằng nhau, từ đó suy ra BM song song với OP.

c) Ta cần chứng minh ba điều kiện:
- JK/PO
- K, I, J thẳng hàng.

Để chứng minh JK/PO, ta sẽ sử dụng định lí nội tiếp và tiếp tuyến chung của các hình thức nội tiếp.

Áp dụng định lí nội tiếp, ta có góc JOM = góc JPM (do đều là góc nằm trên cung JM).

Áp dụng định lí tiếp tuyến chung, ta có góc JPM = góc KPO (do cùng là góc nằm trên cung JM).

Vậy, góc JOM = góc KPO, từ đó suy ra JK/PO.

Để chứng minh ba điểm K, I, J thẳng hàng, ta sẽ sử dụng định lí của tứ giác nội tiếp.

Vì tứ giác APMO là tứ giác nội tiếp, nên góc AOM = góc APM.

Áp dụng định lí tứ giác nội tiếp, ta có gó

c APM = góc OPN (do cùng là góc nằm trên cung AP).

Vậy, góc AOM = góc OPN, từ đó suy ra ba điểm K, I, J thẳng hàng (do đều nằm trên đường thẳng ON).

Vậy, ta đã chứng minh JK/PO và ba điểm K, I, J thẳng hàng.