a. Để chứng minh tứ giác MPDQ nội tiếp, ta cần chứng minh tứ giác MQPD có tổng hai góc ở hai cặp đỉnh đối diện bằng 180 độ.

Góc MPD là góc giữa đường thẳng vuông góc với AB và đường thẳng CN (do PQ vuông góc với BC và PQ và CN cắt nhau tại P), nên góc MPD là góc vuông.

Góc MQD là góc giữa đường thẳng vuông góc với AB và đường thẳng CM (do MQ vuông góc với AB và MQ và CM cắt nhau tại E), nên góc MQD cũng là góc vuông.

Vì góc MPD và góc MQD đều là góc vuông, nên tứ giác MQPD có tổng hai góc ở hai cặp đỉnh đối diện bằng 180 độ. Do đó, ta có tứ giác MPDQ nội tiếp.

b. Để chứng minh BE vuông góc với CN, ta sẽ sử dụng tính chất của điểm đối xứng qua một đường thẳng.

D là trung điểm của BC, nên đường thẳng DN là đường phân giác của góc CNB (do D là trung điểm của BC nên DN là đường phân giác của góc CNB).

M là trung điểm của AB, nên đường thẳng MN là đường phân giác của góc ANB (do M là trung điểm của AB nên MN là đường phân giác của góc ANB).

Vì N là điểm đối xứng của D qua M, nên tứ giác CNDN' là hình đối xứng qua đường thẳng MN. Từ đó, ta có CNDN' là hình bình hành.

Do CNDN' là hình bình hành, nên góc CN'D bằng góc CNB (vì chúng là góc ở đỉnh đối diện với hai cạnh song song). Như vậy, góc CN'D bằng góc CNB.

Vì góc CN'D bằng góc CNB và góc CNB vuông (do tam giác ABC vuông tại A), nên góc CN'D cũng là góc vuông.

Khi đó, đường thẳng CN' cắt đường thẳng BE tại một điểm E và góc CN'E là góc vuông. Vậy, ta chứng minh được rằng BE vuông góc với CN.

c. Để chứng minh AC là tia phân giác của góc AEQ, ta cần chứng minh rằng tứ giác ACEQ

 là tứ giác điều hòa.

Tứ giác ACEQ là tứ giác điều hòa nếu và chỉ nếu tỉ số AE/CQ = EQ/AC.

Do tam giác ACE và tam giác EQC có các cạnh tương đương (AC = EC và AE = EQ), nên ta có tỉ số AE/CQ = EQ/AC.

Vì tỉ số AE/CQ = EQ/AC, nên ta kết luận rằng tứ giác ACEQ là tứ giác điều hòa. Từ đó, ta có AC là tia phân giác của góc AEQ.