1. Để tính giá trị của A tại x=4, ta thay x=4 vào biểu thức A:
A = √(4)2(√(4)+12) = √16 * √16 = 16
2.Để rút gọn biểu thức P = A.B, ta nhân các tử số và mẫu số của A và B, và rút gọn các phân số có thể rút gọn:
P = A.B = (√x2(√x+12)) * (√x +3)/(x-9)/(√x +5)/(√√x-8)
= (√x * √x + 12) * (√x + 3)/((x-9) * (√x + 5) * √√x - 8)
= (x + 12√x + 36) / (√x * x - 9√x + 5x - 45√x - 8)
Vậy biểu thức P đã được rút gọn thành (x + 12√x + 36)/(√x * x - 9√x + 5x - 45√x - 8).
3.Để tìm các số nguyên x để P có giá trị là số tự nhiên, ta cần giải phương trình:
x + 12√x + 36 = k(√x * x - 9√x + 5x - 45√x - 8), với k là một số tự nhiên.
thực hiện các phép biến đổi như sau:
x + 12√x + 36 = k(√x * x - 9√x + 5x - 45√x - 8)
x + 12√x + 36 = k√x * x - 9k√x + 5kx - 45k√x - 8k
x + 12√x + 36 = kx√x - (9k + 45)√x + 5kx - 8k
(kx - 1)√x + (12 + 9k + 45)√x = kx^2 - 5kx + 8
(kx - 1 + 9k + 45)√x = kx^2 - 5kx + 8
(kx + 9k + 44)√x = kx^2 - 5kx + 8
Để loại bỏ căn bậc hai, ta bình phương hai vế của phương trình:
(kx + 9k + 44)^2 * x = (kx^2 - 5kx + 8)^2
k^2x^4 + 2k(9k + 44)x^3 + (81k^2 + 264k + 1936)x^2 = k^2x^4 - 10k^2x^3 + (80k^2 - 80kx + 64)x^2 - 10k^2x^3 + 100k^2x^2 - 160kx^2 + 16kx^3 - 80kx^2 + 400kx - 256
(12k - 15)x^2 + (-4k + 36k^2)x + (16 - 16k^2) = 0
Phương trình bậc hai này có thể giải bằng các phương pháp giải phương trình bậc hai thông thường. Sau khi tìm được các nghiệm x, ta cần kiểm tra các nghiệm này có phù hợp với điều kiện trong phương trình P hoặc không (ví dụ như x không được phép bằng 9, và mẫu số của biểu thức P không được bằng 0).