Để chứng minh rằng FC = 2FB, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường trung tuyến.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, ta có đường cao AH vuông góc với BC.

Xét tam giác ABM và tam giác AEF:
- Hai tam giác này có một cạnh chung là cạnh BM.
- Góc EBM vuông góc với góc ABM (do AE vuông góc BM).
- Góc AEF vuông góc với góc ABM (do AE vuông góc BM).

Do đó, theo tính chất của hai tam giác vuông góc có chung một cạnh, ta có:
Tam giác ABM tương đồng với tam giác AEF (theo góc vuông - góc vuông - góc).

Vì BM là đường trung tuyến của tam giác ABC, theo tính chất của đường trung tuyến, ta có: BM = 2MC.

Vì vậy, theo tính chất của tam giác tương đồng, ta cũng có: AE = 2EF.

Khi đó, ta có: FC = AE - AF = 2EF - AF = EF = 2FB.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng FC = 2FB.