a) Để chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m, ta cần kiểm tra điều kiện đồ thị parabol (P) có hai điểm cắt với đường thẳng (d). Điều này tương đương với việc phương trình đồ thị parabol (P) và phương trình đường thẳng (d) có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = mx + c, trong đó m là hệ số góc và c là hệ số tự do.

Phương trình đồ thị parabol (P) có dạng y = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các hệ số.

Để (P) và (d) có hai nghiệm phân biệt, ta cần giải hệ phương trình:
ax² + bx + c = mx + c

Simplifying: ax² + (b - m)x = 0

Điều này có thể xảy ra khi và chỉ khi hệ số của x² và x không bằng 0, tức là a và b - m không bằng 0.

Vì ta không biết cụ thể giá trị của a, b, và m, nên không thể chứng minh được rằng đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.

b) Để tìm giá trị m sao cho x1 ≤ 0 < x2, ta cần xác định giới hạn của x khi m thay đổi.

Từ phương trình x² + 4x - m² + 2 = 0, ta có:
(x + 2)² = m² - 2

Điều kiện x1 ≤ 0 tương đương với (x + 2) ≤ 0, tức là x ≤ -2.
Điều kiện 0 < x2 tương đương với (x + 2) > 0, tức là x > -2.

Vậy, để x1 ≤ 0 < x2, ta cần giải hệ bất phương trình:
x ≤ -2 và x > -2

Kết quả là không tồn tại giá trị m thỏa mãn điều kiện x1 ≤ 0 < x2.