a) Ta có: $\angle OAC = \angle OMC$ (cùng chắn OM) và $\angle OCA = \angle OAM$ (tiếp tuyến và nửa đường tròn). Do đó, $\angle ACM = \angle OCA + \angle OAM = \angle OAM + \angle OMC = \angle AMC$. Vậy tứ giác ACMO là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có: $\angle COD = \angle COA + \angle AOD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Vậy tam giác COD vuông tại O.

c) Ta có: $\angle ACO = \angle OCB$ (cùng chắn OB) và $\angle BDC = \angle OCB$ (tiếp tuyến và nửa đường tròn). Do đó, $\angle ACO = \angle BDC$. Từ đó, $\triangle ACO \sim \triangle BDC$, suy ra $\dfrac{AC}{BD} = \dfrac{AO}{BO} = 1$ (vì O là trung điểm AB) và $AC \cdot BD = R^2$ (vì $\triangle ACO \sim \triangle BDC$ và $AC \cdot CO = R^2$).

d) Ta có: $\angle BCI = \angle ACB = \angle OCB$ (tiếp tuyến và nửa đường tròn) và $\angle CBI = \angle CBA = \angle OCA$ (cùng chắn OA). Do đó, $\triangle BCI \sim \triangle OCB$, suy ra $\dfrac{CI}{CB} = \dfrac{CO}{CB} = \dfrac{1}{2}$ (vì O là trung điểm AB). Tương tự, ta có $\dfrac{DI}{DA} = \dfrac{DO}{DA} = \dfrac{1}{2}$. Vậy I là trung điểm MN.