a. Ta có phương trình bậc hai: x’ - 2x - m + 3 = 0
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta cần delta > 0
Delta = b² - 4ac = (-2)² - 4(1)(-m+3) = 4 + 4m - 12 = 4m - 8
Điều kiện delta > 0 tương đương với 4m - 8 > 0 => m > 2
Từ phương trình x² + x² = 20, suy ra x² = 10
Vậy ta có: Xạ = -√10 và Xz = √10
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt Xạ và Xz thì phải thỏa mãn điều kiện: Xạ < Xz
-√10 < √10 => mất

b. Gọi I là trung điểm của BC, ta có: IO vuông góc BC
Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC
Ta có: IM // AC, IN // AB
Do đó, tam giác MIN đồng dạng với tam giác ABC
Gọi R là trung điểm của MN, ta có: OR song song với BC
Do đường tròn (O) là đường kính BC nên O, R, I thẳng hàng
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BC, ta có: OH = Rẻ
Do đó, tam giác OIH cân tại O
Gọi x là độ dài OH, ta có: IH = √(IO² - OH²) = √(Rẻ² - x²)
Ta có: x = IR - Rẻ = 1/2 BC - Rẻ
Do đó: IH = √(Rẻ² - (1/2 BC - Rẻ)²) = √(Rẻ² - 1/4 BC²)
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
cos A = (BC² + AC² - AB²)/(2BC.AC) = (BC² - 2BC.IM + BC²)/(2BC.AC) = (2BC.Rẻ)/(2BC.AC) = Rẻ/AC
Do tam giác OIH cân tại O nên cos OIH = cos (180 - 2A/3) = -cos (2A/3)
Áp dụng định lý cosin trong tam giác OIH, ta có:
cos OIH = OH/IH = x/IH = (1/2 BC - Rẻ)/√(Rẻ² - 1/4 BC²)
Do đó: -cos (2A/3) = (1/2 BC - Rẻ)/√(Rẻ² - 1/4 BC²)
Suy ra: cos (2A/3) = (Rẻ - 1/2 BC)/√(Rẻ² - 1/4 BC²)
Vậy ta có công thức tính cos (2A/3) dựa vào độ dài các cạnh của tam giác ABC.