Đặt $CD = x$, ta có $AB = \frac{2}{3}x$.

Do đó, $AD = BC = \frac{AB+CD}{2} = \frac{5}{6}x$.

Vì $CM = \frac{1}{3}CD$, nên $DM = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3}x$.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta có:

$S_{BMC} = \frac{1}{2}BM \cdot CM \cdot \sin{\angle BMC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}x \cdot \frac{1}{3}x \cdot \sin{\angle BMC}$

Vì tam giác $BMC$ và tam giác $DAM$ đồng dạng, nên:

$\frac{BM}{AD} = \frac{CM}{DM} \Rightarrow BM = \frac{1}{2}AD = \frac{5}{12}x$

Do đó, $S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}x \cdot \frac{1}{3}x \cdot \sin{\angle BMC} = \frac{1}{18}x^2 \sin{\angle BMC}$

Từ đó, ta có:

$\frac{S_{BMC}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{18}x^2 \sin{\angle BMC}}{\frac{1}{2}(AB+CD) \cdot DM} = \frac{\frac{1}{18}x^2 \sin{\angle BMC}}{\frac{5}{6}x \cdot \frac{2}{3}x} = \frac{\sin{\angle BMC}}{20}$

Vậy, tỷ số diện tích tam giác BMC và diện tích hình thang ABCD là $\boxed{\frac{\sin{\angle BMC}}{20}}$.