Ta có thể giải quyết bài toán này bằng nhiều cách khác nhau, dưới đây là một cách giải đơn giản:

Gọi M là trung điểm của AB, ta có AM = MB = 1/2 AB.
Gọi N là trung điểm của AC, ta có AN = NC = 1/2 AC.
Gọi P là trung điểm của BC, ta có BP = PC = 1/2 BC.

Khi đó, ta có:
- CH là đường cao của tam giác ABC, nên CH^2 = AH x BH (theo định lý Euclid).
- AB là đường cao của tam giác ACH, nên AB^2 = AH x HC (theo định lý Euclid).
- AC là đường cao của tam giác CBH, nên AC^2 = BH x PC (theo định lý Euclid).
- BC là đường cao của tam giác ABH, nên BC^2 = BH x BP (theo định lý Euclid).

Từ đó suy ra:
- AB^2 + CH^2 = AH x HC + AH x BH = AH x (HC + BH) = AH^2 + BH^2.
- AC^2 + BH^2 = BH x PC + BH x BP = BH x (PC + BP) = BH^2 + CH^2.
- AH^2 + BH^2 = AH x HC + BH x BP = BH x (BP + HC) = BH^2 + AC^2.

Vậy ta đã chứng minh được rằng AB^2 + CH^2 = AC^2 + BH^2 = AH^2 + BH^2.