1) Ta có $\angle MON = 90^\circ$ (do $OM$ vuông góc với $ON$) và $\angle MNC = 90^\circ$ (do $NC$ là đường đối). Vậy tứ giác $MONC$ là tứ giác nội tiếp.

2) Ta cần chứng minh $CO, CD, CF, CE$ và $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFE$.

Gọi $O'$ là trung điểm của $AB$. Ta có $OO' \perp AB$ và $OO' = \frac{1}{2} AB$. Vậy $OO' \parallel CD$ và $OO' = \frac{1}{2} CD$. Do đó, ta có $\triangle O'OC \sim \triangle O'DC$, từ đó suy ra $\angle O'CO = \angle O'DC$.

Ta có $\angle AFE = \angle ABE = \angle O'CO$ (do $AB \parallel CO'$ và $AB \perp FE$). Vậy $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFE$.

Ta có $\angle CFE = 90^\circ - \angle FEC = 90^\circ - \angle AED = \angle ACD$. Vậy $CF$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFE$.

Ta có $\angle CED = \angle AED = \angle ACD$. Vậy $CE$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFE$.

Cuối cùng, ta có $\angle CDO = \angle CNO = 90^\circ$ (do $CD \perp BC$ và $ON \perp BC$). Vậy $CD$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFE$.

Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.