Để chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm, ta có thể sử dụng định lí trung bình cộng (mean value theorem) như sau:

Đặt f(x) = (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)

Ta có f(a) = (a-a)(a-b)+(a-b)(a-c)+(a-c)(a-a) = 0

f(b) = (b-a)(b-b)+(b-b)(b-c)+(b-c)(b-a) = 0

f(c) = (c-a)(c-b)+(c-b)(c-c)+(c-c)(c-a) = 0

Vậy f(x) có ít nhất một điểm mà giá trị của nó bằng trung bình cộng của các giá trị f(a), f(b), f(c). Tức là tồn tại một số x sao cho:

f(x) = (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) = (x-a)(x-c)+(x-b)(x-a)+(x-c)(x-b)

= x^2 - (a+b+c)x + ab+bc+ca

Để phương trình f(x) = 0 có nghiệm, ta cần và đủ để delta của nó không âm:

Δ = (a+b+c)^2 - 4(ab+bc+ca) >= 0

Điều này luôn đúng vì:

Δ = (a+b+c)^2 - 4(ab+bc+ca) = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca >= 0

Vậy phương trình (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0 luôn có nghiệm.