a) Ta có: $\angle BAI = \angle IAC$ (vì $I$ là tâm của đường trung trực của $BC$) và $\angle AIB = \angle CIN$ (vì $I$ là điểm chung của hai tia phân giác). Do đó, $\angle AIN = \angle BIC$.

Suy ra, $\angle BIM = \angle AIN - \angle AIB = \angle BIC - \angle CIN = \angle BNC$.

Vậy, tam giác $BIM$ và $CIN$ đồng dạng, từ đó suy ra $\dfrac{BM}{NC} = \dfrac{BI}{CI}$.

Nhưng $BI = CI$ (vì $I$ là tâm của đường trung trực của $BC$), nên $BM = NC$.

b) Ta có: $\angle AIE = \angle AIC + \angle CIE = \angle AIB + \angle BIM = \angle BIC = 180^\circ - \angle BAC$.

Do đó, $AIEC$ là tứ giác nội tiếp.

Vì $IN$ là đường trung trực của $BC$, nên $IC = IB$.

Suy ra, $IA$ là đường trung trực của $EC$.

Do đó, $IN$ cũng là đường trung trực của $AE$.

c) Ta có: $\angle AIF = 180^\circ - \angle BAI - \angle CAF = 180^\circ - \angle IAC - \angle CAF = \angle ACF$.

Vậy, tam giác $AIF$ và $ACF$ đồng dạng.

Từ đó suy ra: $\dfrac{FC}{IF} = \dfrac{AC}{AI}$.

Tương tự, ta có: $\dfrac{FB}{IE} = \dfrac{AB}{AI}$.

Do $CE = AB$, nên $\dfrac{FB}{IE} = \dfrac{FC}{IF}$.

Từ đó suy ra: $FC > FB$.