1) Ta có $\angle ABH = \angle ACB$ (cùng nằm trên cùng một cạnh AB), $\angle BAH = \angle BCA$ (do ABH vuông tại H và BCH vuông tại H). Vậy tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACB theo góc. Từ đó suy ra $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AB}{AH}$ hay $AC.AH = AB^2$.
2) Ta có $BH^2 = AB^2 - AH^2 = 64 - 36 = 28$, suy ra $BH = 2\sqrt{7}$. Từ đó, $CH = BC - BH = 6 - 2\sqrt{7}$ và $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{100} = 10$.
3) Gọi D là trung điểm của AC. Ta có $ID \parallel BC$ (do B là trung điểm của HD) và $ID = \dfrac{1}{2}BC = 3$. Vậy $IC = \sqrt{AC^2 - ID^2} = \sqrt{91}$. Do đó, $DM = AC - 2IC = 10 - 2\sqrt{91}$.
Gọi J là trung điểm của BH. Ta có $IJ \parallel AC$ (do B là trung điểm của HJ) và $IJ = \dfrac{1}{2}AC = 5$. Vậy $IH = \sqrt{BH^2 + IJ^2} = \sqrt{47}$.
4) Ta có $EK = \dfrac{CK}{AC} \cdot BE = \dfrac{AC - BC}{AC} \cdot BE = \dfrac{4}{5}BE$. Vậy $BF + EK = BF + \dfrac{4}{5}BE > BE$. Do đó, BF.EK > BE.BF = S(BEF) > 0. Vậy BF.EK > 0.