Áp dụng bất đẳng thức AM-HM, ta có:
(a + b + c)/3 ≥ 3/(1/a + 1/b + 1/c)
⇔ 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9/(a + b + c)

Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
(1/a + 2/b + 3/c)(2b + 3c + 6a) ≥ (1 + 2 + 3)² = 36
⇔ 1/a + 4/b + 9/c + 12/a + 18/b + 36/c ≥ 36

Tổng hợp hai bất đẳng thức trên, ta được:
1/a + 4/b + 9/c ≥ (1/a + 2/b + 3/c) + (12/a + 18/b + 36/c) ≥ 36/(a + b + c)

Vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức cần chứng minh.