Đầu tiên, ta xét trường hợp khi n chia cho 2 và n chia cho 3 đều cho số dư khác 0. Điều này có nghĩa là n không chia hết cho 2 và 3, và n chỉ có thể có dạng 2k+1 hoặc 3m+1, 3m+2 (với k và m là các số nguyên bất kỳ).

1. Xét n chia cho 2:

  - Nếu n = 2k+1 (n là số lẻ), thì B = 4*(2k+1)^2 + 3*(2k+1) + 5 = 4*(4k^2+4k+1) + 6k + 3 + 5 = 16k^2 + 16k + 4 + 6k + 3 + 5 = 16k^2 + 22k + 12. 

  - Khi chia cho 6, số dư của B là số dư của (22k + 12) chia cho 6 vì 16k^2 chia hết cho 6. 

  - Số dư của (22k + 12) chia cho 6 là 0 vì 22k + 12 = 6*(3k + 2), do đó B chia hết cho 6.

2. Xét n chia cho 3:

  - Nếu n = 3m+1, thì B = 4*(3m+1)^2 + 3*(3m+1) + 5 = 4*(9m^2 + 6m + 1) + 9m + 3 + 5 = 36m^2 + 24m + 4 + 9m + 3 + 5 = 36m^2 + 33m + 12.

  - Khi chia cho 6, số dư của B là số dư của (33m + 12) chia cho 6 vì 36m^2 chia hết cho 6.

  - Số dư của (33m + 12) chia cho 6 cũng là 0 vì 33m + 12 = 6*(5m + 2), do đó B cũng chia hết cho 6 trong trường hợp này.

  - Tương tự, nếu n = 3m+2, ta cũng có thể chứng minh B chia hết cho 6.

Do đó, ta có thể kết luận rằng nếu n là số nguyên không chia hết cho 2 và 3, thì B = 4n^2 + 3

- Nếu n = 3m+2, thì B = 4*(3m+2)^2 + 3*(3m+2) + 5 = 4*(9m^2 + 12m + 4) + 9m + 6 + 5 = 36m^2 + 57m + 27.

- Khi chia cho 6, số dư của B là số dư của (57m + 27) chia cho 6 vì 36m^2 chia hết cho 6.

- Số dư của (57m + 27) chia cho 6 cũng là 0 vì 57m + 27 = 6*(9m + 4 + 1), do đó B cũng chia hết cho 6 trong trường hợp này.

Do đó, ta có thể kết luận rằng nếu n là số nguyên không chia hết cho 2 và 3, thì B = 4n^2 + 3n + 5 chia hết cho 6.