Bài 1:
Ta có: $AB^2=BH.BC$ (1)
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABH ta có: $AB^2=AH^2+BH^2$ (2)
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ACH ta có: $AC^2=AH^2+CH^2$ (3)
Từ (2) và (3) suy ra: $AB^2-AC^2=BH^2-CH^2$ (4)
Từ (1) và (4) suy ra: $BC(BH-CH)=AB^2-AC^2$
Do đó, ta có: $BH=CH$ hay tam giác ABC vuông tại A.

Bài 2:
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABD và tam giác BCD ta có:
$BD^2=AB^2-AD^2$ (1)
$BD^2=BC^2-CD^2$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $AB^2-AD^2=BC^2-CD^2$
Do đó, $3BD^2+2AD^2+CD^2=2AB^2+2BC^2$
Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC ta có: $AB^2+BC^2-2AB.BC.cos(\angle BAC)=AC^2$
Do tam giác ABC cân nên $AB=BC$ và $cos(\angle BAC)=-1/2$
Vậy, $AB^2+BC^2=2AC^2$
Từ đó, ta có: $3BD^2+2AD^2+CD^2=2AB^2+2BC^2=4AC^2$
Do tam giác ABC cân nên $AC=BC$
Vậy, $3BD^2+2AD^2+CD^2=4BC^2$ hay tam giác ABC cân.