Giả sử tứ giác ABCD có điểm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chúng ta sẽ chứng minh tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn tổng độ dài hai cặp cạnh đối nhau của tứ giác.

1. AC + BD > AB + CD

Ta có tứ giác AOBC là tứ giác lõi. Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

- AB + AO > AC và AC + CO > AB
- CD + DO > BD và BD + BO > CD

Cộng hai bất đẳng thức đầu tiên, ta được:

- AB + AO + AC + CO > 2AC

Tương tự, cộng hai bất đẳng thức sau, ta được:

- CD + DO + BD + BO > 2BD

Do đó:

- (AB + AO + AC + CO) + (CD + DO + BD + BO) > 2(AC + BD)

Chú ý rằng AO + BO = OB + OC = AC và CO + DO = CD + BO = BD. Ta có:

- 2(AB + CD) > 2(AC + BD)

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

- AC + BD > AB + CD

2. AC + BD > AD + BC

Tương tự như trên, áp dụng bất đẳng thức tam giác cho các tứ giác lõi AODB và BOCĐ, ta có:

- AD + AO > AC và AC + CO > AD
- BC + BO > BD và BD + DO > BC

Cộng hai bất đẳng thức đầu tiên, ta được:

- AD + AO + AC + CO > 2AD

Tương tự, cộng hai bất đẳng thức sau, ta được:

- BC + BO + BD + DO > 2BC

Do đó:

- (AD + AO + AC + CO) + (BC + BO + BD + DO) > 2(AD + BC)

Chú ý rằng AO + BO = OB + OC = AC và CO + DO = CD + BO = BD. Ta có:

- 2(AD + BC) > 2(AC + BD)

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

- AC + BD > AD + BC

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được hai bất đẳng thức:

- AC + BD > AB + CD
- AC + BD > AD + BC